曲线积分

时间:2020-05-06 23:42:59

在数学中,曲线积分路径积分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间,而是特定的曲线,称为积分路径。曲线积分有很多种类,当积分路径为闭合曲线时,称为环路积分围道积分

在曲线积分中,被积的函数可以是标量函数或向量函数。当被积函数是标量函数时,积分的值是积分路径各点上的函数值乘上该点切向量的长度,在被积分函数是向量函数时,积分值是积分向量函数与曲线切向量的内积。在函数是标量函数的情形下,可以把切向量的绝对值(长度)看成此曲线把该点附近定义域的极小区间,在对应域内拉长了切向量绝对值的长度,这也是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点。物理学中的许多简洁公式(例如W=F·s)在推广之后都是以曲线积分的形式出现(,标量场的曲线积分可以想成某个曲线(不是平面上的曲线代表在该点屏风的高度(这里假设的曲线积分就是该“屏风”的面积,也就是前面所说曲线是曲线

梯度场中的曲线积分

定义

设有标量场:F : URn

其中,r: [a, b]

向量场的曲线积分

设有向量场:F : URn

其中,r: [a, b]

那么,由Gr组成的复合函数的导数是:

用文字表示,就是说若F是一个梯度场,那么F的曲线积分与所取的路径无关,而只与路径的起点和终点的选取有关。

应用

在各种保守力的场都是路径无关的,一个常见的例子就是重力场或电场。在计算这种场的做功时,可以选择适当的路径进行积分,使得计算变得简单。

曲线积分与复分析的关系

如果将复数看作二维的向量,那么二维向量场的曲线积分就是相应复函数的共轭函数在同样路径上的积分值的实部。

根据柯西-黎曼方程,一个全纯函数的共轭函数所对应的向量场的旋度是0。

复曲线积分

在复分析中,曲线积分是通过复数的加法和乘法定义的。令U为复数集 C 的一个开子集,f : U 是一个参数为。则曲线积分:

曲线积分是区间分划的长度趋于零时这个黎曼和的极限。

的曲线积分通常记作

的曲线积分定义为

用柯西积分定理也可以得到结果。

量子力学

量子力学中的“曲线积分形式”和曲线积分并不相同,因为曲线积分形式中所用的积分是函数空间上的泛函积分,即关于空间中每个路径的概率函数进行积分。然而,曲线积分在量子力学中仍有重要作用,比如说复围道积分常常用来计算量子散射理论中的概率振幅。

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