曲线积分

设有向量场：F : U ⊆ Rⁿ ${\displaystyle \to }$

其中，r: [a, b] ${\displaystyle \to }$

那么，由G和r组成的复合函数的导数是：

${\displaystyle \frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt}=\mathrm{\nabla }G(\mathbf{r}(t))\cdot {\mathbf{r}}^{\prime }(t)=\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot {\mathbf{r}}^{\prime }(t)}$。

用文字表示，就是说若F是一个梯度场，那么F的曲线积分与所取的路径无关，而只与路径的起点和终点的选取有关。

应用

在各种保守力的场都是路径无关的，一个常见的例子就是重力场或电场。在计算这种场的做功时，可以选择适当的路径进行积分，使得计算变得简单。

曲线积分与复分析的关系

如果将复数看作二维的向量，那么二维向量场的曲线积分就是相应复函数的共轭函数在同样路径上的积分值的实部。

根据柯西-黎曼方程，一个全纯函数的共轭函数所对应的向量场的旋度是0。

复曲线积分

在复分析中，曲线积分是通过复数的加法和乘法定义的。令U为复数集 C 的一个开子集，f : U ${\displaystyle \to }$是一个参数为${\displaystyle \gamma :[a,b]\to L}$。则曲线积分：

${\displaystyle {\int }_{L}f(z)dz}$

曲线积分是区间分划的长度趋于零时这个黎曼和的极限。

当${\displaystyle \gamma }$

当${\displaystyle L}$的曲线积分通常记作

${\displaystyle {\text{∮}}_{L}f(z)dz}$的曲线积分定义为

${\displaystyle {\int }_{L}f\overline{dz}:=\overline{{\int }_L\overline{f}dz}={\int }_a^{b}f(\gamma (t))\overline{{\gamma }^{\prime }(t)}dt.}$

用柯西积分定理也可以得到结果。

量子力学

主条目：路径积分表述

量子力学中的“曲线积分形式”和曲线积分并不相同，因为曲线积分形式中所用的积分是函数空间上的泛函积分，即关于空间中每个路径的概率函数进行积分。然而，曲线积分在量子力学中仍有重要作用，比如说复围道积分常常用来计算量子散射理论中的概率振幅。

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