对数微分法

对数微分法是在微积分学中，通过求某函数f的对数导数（英语：Logarithmic derivative）来求得函数导数的一种方法，

${\displaystyle [\ln (f){]}^{\prime }=\frac{f^{\prime }}{f}\to f^{\prime }=f\cdot [\ln (f){]}^{\prime }.}$

运用对数微分法，通常对函数两边取绝对值后取自然对数。

${\displaystyle \ln |y|=\ln |f(x)|}$

两边同乘以y，则方程左边只剩下dy/dx：

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=y\times \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=f^{\prime }(x).}$

通用公式

有一如下形式的函数，

${\displaystyle f(x)=\prod _i(f_i(x){)}^{{\alpha }_i(x)}.}$

两边对x求导，得

${\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\sum _i\left[{\alpha }_i^{\prime }(x)\cdot \ln (f_i(x))+{\alpha }_i(x)\cdot \frac{f_i^{\prime }(x)}{f_i(x)}\right].}$，可得原函数的导数为

${\displaystyle f^{\prime }(x)=\stackrel{f(x)}{\overbrace{\prod _i(f_i(x){)}^{{\alpha }_i(x)}}}\times \stackrel{[\ln (f(x)){]}^{\prime }}{\overbrace{\sum _i\left\{{\alpha }_i^{\prime }(x)\cdot \ln (f_i(x))+{\alpha }_i(x)\cdot \frac{f_i^{\prime }(x)}{f_i(x)}\right\}}}}$

两边取自然对数，可得如下形式的和函数

${\displaystyle \ln (f(x))=\ln (g(x)h(x))=\ln (g(x))+\ln (h(x))}$

整理，可得

${\displaystyle f^{\prime }(x)=f(x)\times \{\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}+\frac{h^{\prime }(x)}{h(x)}\}=g(x)h(x)\times \{\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}+\frac{h^{\prime }(x)}{h(x)}\}}$

两边取自然对数，可得如下形式的差函数

${\displaystyle \ln (f(x))=\ln (\frac{g(x)}{h(x)})=\ln (g(x))-\ln (h(x))}$

整理，可得

${\displaystyle f^{\prime }(x)=f(x)\times \{\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}-\frac{h^{\prime }(x)}{h(x)}\}=\frac{g(x)}{h(x)}\times \{\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}-\frac{h^{\prime }(x)}{h(x)}\}}$运用除法定则所得结果相同。

复合指数函数

对于如下形式的函数

${\displaystyle f(x)=g(x{)}^{h(x)}}$

应用链式法则，两边求导，得

${\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=h^{\prime }(x)\ln (g(x))+h(x)\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}}$

与将函数f看做指数函数，直接运用链式法则所得结果相同。

参见

• 对数恒等式

• 网易公开课：对数微分法. 网易. [2014-11-26].
• 对数之微分法（高中文理科）. Youtube. [2014-11-26].
• Differentiation by taking logarithms – Teach yourself. mathcentre.ac.uk. [2012-01-03].
• Logarithmic differentiation. [2009-03-10].
• Calculus I – Logarithmic differentiation. [2009-03-10].