贝塞尔曲线

三次方贝塞尔曲线

在数学的数值分析领域中，贝塞尔曲线（英语：Bézier curve，亦作“贝塞尔”）是计算机图形学中相当重要的参数曲线。更高维度的广泛化贝塞尔曲线就称作贝兹曲面，其中贝兹三角是一种特殊的实例。

贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔·贝兹（Pierre Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。贝塞尔曲线最初由保尔·德·卡斯特里奥于1959年运用德卡斯特里奥算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。

实例说明

线性贝塞尔曲线

给定点P₀、P₁，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出：

${\displaystyle \mathbf{B}(t)={\mathbf{P}}_0+({\mathbf{P}}_1-{\mathbf{P}}_0)t=(1-t){\mathbf{P}}_0+t{\mathbf{P}}_1\text{ , }t\in [0,1]}$。

TrueType字型就运用了以贝兹样条组成的二次贝塞尔曲线。

三次方贝塞尔曲线

P₀、P₁、P₂、P₃四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于P₀走向P₁，并从P₂的方向来到P₃。一般不会经过P₁或P₂；这两个点只是在那里提供方向资讯。P₀和P₁之间的间距，决定了曲线在转而趋进P₂之前，走向P₁方向的“长度有多长”。

曲线的参数形式为：

${\displaystyle \mathbf{B}(t)={\mathbf{P}}_0(1-t{)}^3+3{\mathbf{P}}_{1}t(1-t{)}^2+3{\mathbf{P}}_2{t}^2(1-t)+{\mathbf{P}}_3{t}^3\text{ , }t\in [0,1]}$阶贝塞尔曲线可如下推断。给定点P₀、P₁、…、P_n，其贝塞尔曲线即

${\displaystyle \mathbf{B}(t)=\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}){\mathbf{P}}_i(1-t{)}^{n-i}{t}^i=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}){\mathbf{P}}_0(1-t{)}^n{t}^0+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}){\mathbf{P}}_1(1-t{)}^{n-1}{t}^1+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1}){\mathbf{P}}_{n-1}(1-t{)}^1{t}^{n-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n}){\mathbf{P}}_n(1-t{)}^0{t}^n\text{ , }t\in [0,1]}$：

${\displaystyle \mathbf{B}(t)={\mathbf{P}}_0(1-t{)}^5+5{\mathbf{P}}_{1}t(1-t{)}^4+10{\mathbf{P}}_2{t}^2(1-t{)}^3+10{\mathbf{P}}_3{t}^3(1-t{)}^2+5{\mathbf{P}}_4{t}^4(1-t)+{\mathbf{P}}_5{t}^5\text{ , }t\in [0,1]}$表示由点P₀、P₁、…、P_n所决定的贝塞尔曲线。则

${\displaystyle \mathbf{B}(t)={\mathbf{B}}_{{\mathbf{P}}_0{\mathbf{P}}_1\dots {\mathbf{P}}_n}(t)=(1-t){\mathbf{B}}_{{\mathbf{P}}_0{\mathbf{P}}_1\dots {\mathbf{P}}_{n-1}}(t)+t{\mathbf{B}}_{{\mathbf{P}}_1{\mathbf{P}}_2\dots {\mathbf{P}}_n}(t)}$阶的贝塞尔曲线，即双${\displaystyle n-1}$

即多项式

${\displaystyle {\mathbf{b}}_{i,n}(t)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})t^i(1-t{)}^{n-i},i=0,\dots n}$时，分成四段的贝塞尔曲线，可以小于千分之一的最大半径误差近似于圆）。

位于固定偏移量的曲线（来自给定的贝塞尔曲线），又称作偏移曲线（假平行于原来的曲线，如两条铁轨之间的偏移）无法以贝塞尔曲线精确的形成（某些平凡实例除外）。无论如何，现存的启发法通常可为实际用途中给出近似值。

建构贝塞尔曲线

线性曲线

线性贝塞尔曲线演示动画，t在[0,1]区间

线性贝塞尔曲线函数中的t会经过由P₀至P₁的B（t）所描述的曲线。例如当t=0.25时，B（t）即一条由点P₀至P₁路径的四分之一处。就像由0至1的连续t，B（t）描述一条由P₀至P₁的直线。

二次曲线

为建构二次贝塞尔曲线，可以中介点Q₀和Q₁作为由0至1的t：

• 由P₀至P₁的连续点Q₀，描述一条线性贝塞尔曲线。
• 由P₁至P₂的连续点Q₁，描述一条线性贝塞尔曲线。
• 由Q₀至Q₁的连续点B（t），描述一条二次贝塞尔曲线。

二次贝塞尔曲线的结构		二次贝塞尔曲线演示动画，t在[0,1]区间

高阶曲线

为建构高阶曲线，便需要相应更多的中介点。对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点Q₀、Q₁、Q₂，和由二次曲线描述的点R₀、R₁所建构：

三次贝塞尔曲线的结构		三次贝塞尔曲线演示动画，t在[0,1]区间

对于四次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点Q₀、Q₁、Q₂、Q₃，由二次贝塞尔曲线描述的点R₀、R₁、R₂，和由三次贝塞尔曲线描述的点S₀、S₁所建构：

四次贝塞尔曲线的结构		四次贝塞尔曲线演示动画，t在[0,1]区间

还可参阅五阶贝塞尔曲线的构成：

五次贝塞尔曲线演示动画，t在[0,1]区间

这些运动轨迹使用de Casteljau算法计算出贝塞尔曲线。

升阶

n次贝塞尔曲线可以转换为一个形状完全相同的n+1次贝塞尔曲线。这在软件只支援特定阶次的贝塞尔曲线时很有用。例如，Cairo只支援三次贝塞尔曲线，你就可以用升阶的方法在Cairo画出二次贝塞尔曲线。

我们利用${\displaystyle \mathbf{B}(t)=(1-t)\mathbf{B}(t)+t\mathbf{B}(t)}$都乘上 (1 − t) 或 t，让每一项都往上升一阶。以下是将二阶升为三阶的范例

${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{i+1})t{\mathbf{b}}_{i,n}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}){\mathbf{b}}_{i+1,n+1},t{\mathbf{b}}_{i,n}=\frac{i+1}{n+1}{\mathbf{b}}_{i+1,n+1}}$

式中${\displaystyle {\mathbf{P}}_{-1}}$可以任意挑选。

因此，新的控制点为

${\displaystyle {{\mathbf{P}}^{\prime }}_i=\frac{i}{n+1}{\mathbf{P}}_{i-1}+\frac{n+1-i}{n+1}{\mathbf{P}}_i,i=0,\dots ,n+1.}$

此处

${\displaystyle {\mathbf{C}}_j=\frac{n!}{(n-j)!}\sum _{i=0}^j\frac{(-1{)}^{i+j}{\mathbf{P}}_i}{i!(j-i)!}=\prod _{m=0}^{j-1}(n-m)\sum _{i=0}^j\frac{(-1{)}^{i+j}{\mathbf{P}}_i}{i!(j-i)!}.}$，因此事先计算好${\displaystyle {\mathbf{C}}_j}$

有理贝塞尔曲线的示例