可分离变量的微分方程

可分离变量的微分方程也叫做变量分离方程，指的是形如${\displaystyle \frac{dy}{dx}=f(x)\phi (y)}$的方程，称为可分离变量的微分方程.

一般解法(求通解)

分离变量法：

对${\displaystyle \frac{dy}{dx}=f(x)\phi (y)}$则${\displaystyle \frac{dy}{\phi (y)}=f(x)dx}$，这里${\displaystyle \int \frac{dy}{\phi (y)}}$理解为某个确定的原函数，${\displaystyle c}$也是一样的解法.

初值问题（求特解）

1.不定积分法

以${\displaystyle g(y)dy=f(x)dx}$,则对${\displaystyle g(y)dy=f(x)dx}$,将初始条件代入,求得

${\displaystyle c=c_0}$.

2.变上限积分法

仍以${\displaystyle g(y)dy=f(x)dx}$,对${\displaystyle g(y)dy=f(x)dx}$,其中${\displaystyle G(y),F(x)}$的一个原函数，代入初始条件，有

${\displaystyle G(y_0)=F(x_0)+c\Rightarrow c=G(y_0)-F(x_0)}$,即

${\displaystyle G(y)-G(y_0)=F(x)-F(x_0)}$,在不混淆的时候，可写为

${\displaystyle {\int }_{y_0}^{y}g(y)dy={\int }_{x_0}^{x}f(x)dx}$,将此条件代入${\displaystyle G(y)-G(y_0)=F(x)-F(x_0)}$,即

${\displaystyle {\int }_{y_0}^{y_1}g(y)dy={\int }_{x_0}^{x_1}f(x)dx}$.