同伦范畴

时间:2020-05-07 02:09:23

数学的拓扑学领域中,同伦范畴是处理同伦问题时格外便利的范畴论语言。它的对象是拓扑空间,态射是连续函数的同伦类,这是商范畴的一个例子;由于同伦关系在映射的合成下不变,同伦范畴的定义是明确的。所有拓扑空间构成的同伦范畴通常记为 ;有时也会考虑较小一类的空间,例如紧生成豪斯多夫空间或CW复形。

两空间在同伦范畴中同构的充要条件是它们同伦等价。

。同伦理论的基本课题之一便是研究 是球面时, 为满足 为满足 ,态射集记为

在处理带基点的空间时,空间的积与不交并都要作相应的改变。

同伦理论

同伦理论中有一些适用于所有空间的一般结果,但随着理论渐深,往往需要考虑更小的一类空间。CW复形适用于大部分的问题,它的好处之一体现于布朗表示定理,缺陷则在于CW复形之间的函数空间不一定是CW复形,针对后者,紧生成豪斯多夫空间更富弹性,它包括了所有CW复形、局部紧空间与第一可数空间(例如度量空间)。

近来同伦理论发展的一个里程碑是谱空间,这可以说是一种适用于拓扑学的导范畴观念。以模型范畴的方法也可以定义谱,这推广了拓扑空间的情形,但较为抽象。

文献

  • J. P. May, A Concise Course in Algebraic Topology (1999), The University of Chicago Press. ISBN 0-226-51183-9

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