可加范畴

在范畴论中，一个可加范畴是一个存在有限双积的预加法范畴。旧文献所谓的“可加范畴”有时指预可加范畴，在当代理论中则倾向于区别两者。

一如预可加范畴，对一交换环${\displaystyle k}$-可加范畴，可加范畴是${\displaystyle k=\mathbb{Z}}$；它同时是范畴中的始对象与终对象。

给定加法范畴中的对象${\displaystyle A,B}$与${\displaystyle B^m}$至${\displaystyle B^m}$、${\displaystyle n=m}$若在同态集上给出群同态，则称作可加函子。如果${\displaystyle \mathcal{C},\mathcal{D}}$保存双积的交换图，则称之为（可加范畴间的）可加函子。换言之：

若${\displaystyle B}$在${\displaystyle \mathcal{C}}$为相应的投影而${\displaystyle i_j}$是${\displaystyle F(A_1),\dots ,F(A_n)}$为相应的投影而${\displaystyle F(i_j)}$为相应的内射。

可加范畴间常见的函子都是可加函子。事实上，可以证明加法范畴间的伴随函子都是可加函子，而范畴论中的重要函子多以伴随函子的面貌出现。

特殊例子

• 一个预阿贝尔范畴是使每个态射都有核与上核的可加范畴。
• 一个阿贝尔范畴是一个使态射均为严格态射的预阿贝尔范畴。

应用最广的可加范畴通常都是阿贝尔范畴。

文献

• Nicolae Popescu, 1973, Abelian Categories with Applications to Rings and Modules, Academic Press, Inc.（已绝版） 该书对此主题有仔细介绍