上同调维数

代数中，上同调维数是群的不变量，量度群的表示的同调复杂度。上同调维数在几何群论、拓扑学、代数数论中有重要应用。

群的上同调维数

就如大多数的同调及上同调不变量，上同调维数涉及选取“系数环”R，最常见的特例是整数环R = Z。设G是离散群，R是非零有单位元的环，RG是其群环。群G的上同调维数小于或等于n，记为cd_R(G) ≤ n，若平凡RG-模R有一个长为n的投射分解，也就是有投射RG-模P₀, …, P_n，及RG-模同态d_k: P_k→P_{k − 1}(k = 1, …, n)和d₀: P₀→R，使得对k = 1, …, n，d_k的像正是d_{k − 1}的核，且d_n有平凡核。

等价地，群G的上同调维数小于或等于n，若对任何RG-模M，G以M为系数的上同调于阶k > n时消失，即H^k(G,M) = 0。

若n是最小的整数使得群G的上同调维数小于或等于n，则G的（系数R的）上同调维数等于n，记为n = cd_R(G)。

例子

以下例子中系数环R为Z。

• 自由群的上同调维数等于1。按斯托林斯－斯旺（Stallings–Swan）定理，这性质完全描述了自由群。
• 除球面外，一个紧致连通可定向的黎曼曲面的基本群的上同调维数等于2。
• 更一般而言，一个n维的紧致连通可定向的非球面流形的基本群的上同调维数等于n。
• 非平凡有限群的上同调维数为无限。

参见

• 群上同调