上同调维数

时间:2020-05-07 03:31:28

代数中,上同调维数是群的不变量,量度群的表示的同调复杂度。上同调维数在几何群论、拓扑学、代数数论中有重要应用。

群的上同调维数

就如大多数的同调及上同调不变量,上同调维数涉及选取“系数环”R,最常见的特例是整数环R = Z。设G是离散群,R是非零有单位元的环,RG是其群环。群G的上同调维数小于或等于n,记为cdR(G) ≤ n,若平凡RG-模R有一个长为n的投射分解,也就是有投射RG-模P0, …, Pn,及RG-模同态dk: PkPk − 1(k = 1, …, n)和d0: P0R,使得对k = 1, …, ndk的像正是dk − 1的核,且dn有平凡核。

等价地,群G的上同调维数小于或等于n,若对任何RG-模MGM为系数的上同调于阶k > n时消失,即Hk(G,M) = 0

n是最小的整数使得群G的上同调维数小于或等于n,则G的(系数R的)上同调维数等于n,记为n = cdR(G)。

例子

以下例子中系数环RZ

  • 自由群的上同调维数等于1。按斯托林斯-斯旺(Stallings–Swan)定理,这性质完全描述了自由群。
  • 除球面外,一个紧致连通可定向的黎曼曲面的基本群的上同调维数等于2。
  • 更一般而言,一个n维的紧致连通可定向的非球面流形的基本群的上同调维数等于n
  • 非平凡有限群的上同调维数为无限。

参见

  • 群上同调

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