有理同伦论

时间:2020-05-07 01:30:26

数学中,有理同伦论是对拓扑空间的有理同伦型的研究;粗略地说,有理同伦型忽略同伦群的挠。有理同伦论由Dennis Sullivan (1977)Daniel Quillen (1969) 首创。

对于单连通空间,有理同伦型等同于一种被称作极小苏利文代数的代数对象(的同构类);这种代数对象是满足特定条件的有理数域上的可交换微分分次代数。

有理同伦论的标准教材是(Félix,Halperin & Thomas 2001)。

有理空间

有理空间是所有同伦群皆为有理数域上的向量空间的单连通空间。若 以及映射 诱导的所有同伦群的同态与 称作 对于有理数的局部化,并称作 的有理化是由消除 上的可交换微分分次代数;其底代数是由某一分次向量空间

,并且要求导子 是分次子空间 包含于

苏利文代数是极小的,其中 的所有正次子空间的直和。

可交换微分分次代数 ,则 相同上同调的极小苏利文代数不一定是 苏利文定义了一个可交换微分分次代数 上有理系数的多项式微分形式的代数。大致地说,该代数上的元素对 共享同一个苏利文极小模型的微分分次代数称为 确定了 是单连通CW复形、且所有有理同调群都是有限维,则 ,满足 的维数都有限。这个苏利文代数称作 的不可分元素的空间即是 的“二次部分”的对偶;

  • 两空间的有理同伦型相同当且仅当其苏利文极小模型同构;
  • 对任意 维数有限的苏利文代数都存在一个单连通的拓扑空间 是光滑流形时, 的模型;更精确地说,这个代数是 实同伦型。同理还可更进一步定义p进同伦型以及adelic同伦型,并与有理同伦型相比较。

    以上对于单连通空间的结论可以轻易延伸到幂零空间(即基本群为幂零群、且对高阶同伦群的作用也是幂零的空间)。对于拥有更一般基本群的空间,事情变得比较棘手,因为即使对于CW复形,并要求每一维度上的胞腔数目都有限,其高阶同伦群仍可以是无限生成的。

    形式空间

    一个可交换微分分次代数 )是形式的 的上同调代数(视作带平凡导子的微分代数)本身即是 维环面(Hasegawa 1975)。非形式的紧幂零流形最简单的例子是海森伯流形 是形式的,那么其所有(高阶的)Massey积都必须为零。而逆命题并不成立:形式性大致等价于其Massey积“一致”为零。博罗梅奥连环英语Borromean rings的补是一个非形式空间:它支持一个非平凡的三次Massey积。

    Halperin & Stasheff (1979) 给出了一个判定可交换微分分次代数的形式性的算法。

    例子

    • ,那么它的极小苏利文模型由单个度数为 生成,满足 是偶维球面、维数为 ,其中箭头代表导子的作用。
    • 的复射影空间,那么它的极小苏利文模型由两个度数分别为 的生成元 生成,满足 ,并且带有一组基底 有四个元素 生成。任意从 映到 0,并将 的倍数,因此必定将 不是其上同调代数的模型。它们各自对应的拓扑空间因而拥有相同的有理上同调环而相异的有理同伦型。注意到 中的元素。
    • Rational Homotopy Theory: A Brief Introduction by Kathryn Hess
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