事件 (概率论)

时间:2020-05-07 06:21:17

在概率论中,随机事件(或简称事件)指的是一个被赋与机率的事物集合,也就是样本空间中的一个子集。简单来说,在一次随机试验中,某个特定事件可能出现也可能不出现;但当试验次数增多,我们可以观察到某种规律性的结果,就是随机事件。基本上,只要样本空间是有限的,则在样本空间内的任何一个子集合,都可以被称为是一个事件。然而,当样本空间是无限的时候,特别是不可数之时,就常常不能定义所有的子集为随机事件了。因此,为了定义一个概率空间,常常需要去掉样本空间的某些子集,规定他们不能成为事件。

例子

假设我们有一堆52张的扑克牌,并闭着眼睛在这堆牌中抽取一张牌,那么用概率论的术语来说,我们实际上是在做一个随机试验。这时,我们的样本空间是一个有着52个元素的集合,因为任意一张牌都是一个可能的结果。而一个随机事件,则是这个样本空间的任意一个子集(这个任意子集包括空集,一个元素的集合及多个元素的集合)。运用组合知识可以知道,随机事件一共有组成的,又称为概率空间。这个空间包括:样本空间(又称为事件体)以及定义在这上面的一个取概率的运算:是一个σ-代数,而取概率的运算两两互斥(也就是说对任意的都是空集。此亦称为pairwise disjoint)那么就有:

。对于每一个0到1之间的实数作为一个集合,如果其中有大于1的,就减去1。这个集合是由可数个数构成的,小明把它记作的并集是区间[0,1],而它们之间两两不相交。然后将每个

再令:

集合中的 遍历所有 所构成的集合。
如此等等,

那么所得到的事件(也就是集合)都是一样的。如果

而如果

因此无论如何,都会导致矛盾。也就是说小明无法为事件表示。一个事件记作:发生,那么事件是“抽出的牌上数字是8”,事件包含事件。例子:事件“抽出的牌花色是黑桃并且数字比3小并且数字是偶数”和事件“抽出的牌是黑桃2”就是等价的。

  • 对立关系:两个事件只能有一个发生,并且必然有一个发生,则它们是对立关系。这种关系对应的集合论术语是“补集”。
  • 互斥关系:两个事件只能有一个发生,但并不必然有一个发生。这时也称两个事件之间是互不相容的。

独立事件

如果两个事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积,那么就称这两个事件是相互独立的。比如说,“抽到的牌是红桃”和“抽到的牌数字是4”就是相互独立的,因为两者同时发生——抽到的牌是红桃4——的概率是52分之1,而“抽到的牌是红桃”的概率是4分之1,“抽到的牌数字是4”的概率是13分之1,两者相乘便是52分之1。

参见

  • 随机变量
  • σ-代数

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